С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

3.17. Численные методы для проблемы собственных значений 421Таблица 3.12. Метод Якоби для вычисления собственныхзначений симметричной матрицыВходСимметричная матрица A.Допуск ǫ на норму внедиагональных элементов.ВыходМатрица, на диагонали которой стоят приближёнияк собственным значениям A.АлгоритмDO WHILE ( ND(A) > ǫ )выбрать ненулевой внедиагональныйэлемент a pq в A;обнулить a pq и a qp преобразованием подобияс матрицей вращения G(p,q,θ);END DOТеперь можно ответить на вопрос о том, почему в методе Якобидля преобразований подобия применяются именно ортогональные матрицы.Как следует из результатов Предложений 3.17.2 и 3.17.3, умножениена ортогональные матрицы обладает замечательным свойствомсохранения фробениусовой нормы матрицы и, как следствие, «перекачивания»её величины с внедиагональных элементов на диагональв результате специально подобранных цепочек таких умножений. Придругих преобразованиях подобия добиться этого было бы едва ли возможно.Итак, всё готово для организации итерационного процесса приведениясимметричной матрицы к диагональному виду, при котором внедиагональныеэлементы последовательно подавляются. Как уже отмечалось,занулённые на каком-то шаге алгоритма элементы могутвпоследствии вновь сделаться ненулевыми. Но результат Предложения3.17.3 показывает, что норма внедиагональной части матрицы приэтом всё равно монотонно уменьшается.