С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

2.9. Алгоритмическое дифференцирование 117Потенциально сколь угодно большое возрастание погрешности численногодифференцирования, в действительности, является отражениемболее глубокого факта некорректности задачи дифференцирования(см. §1.3). Её решение не зависит непрерывно от входных данных, иэто демонстрируют простые примеры. Если f(x) — исходная функция,производную которой нам требуется найти, то возмущённая функцияf(x) + 1 nsin(nx) при n → ∞ будет равномерно сходиться к исходной,тогда как её производнаяf ′ (x)+cos(nx)не сходится к производнойf ′ (x) (см. Рис. 2.16). При возмущении исходнойфункции слагаемым 1 n sin(n2 x) производная вообще может скольугодно сильно отличаться от производной исходной функции.2.9 Алгоритмическое дифференцированиеПусть u = u(x) и v = v(x) — некоторые выражения от переменнойx, из которых далее с помощью сложения, вычитания, умножения илиделения конструируется более сложное выражение. Напомним правиладифференцирования выражений, образованных с помощью элементарныхарифметических операций:(u+v) ′ = u ′ +v ′ , (2.80)(u−v) ′ = u ′ −v ′ , (2.81)(uv) ′ = u ′ v +uv ′ , (2.82)( u ′ u =v) ′ v −uv ′v 2 . (2.83)Из них следует, что численное значение производной для сложного выражениямы можем найти, зная лишь значения образующих его подвыраженийи их производных.Сделанное наблюдение подсказывает идею ввести на множестве парвида (u,u ′ ), которые составлены из значений выражения и его производной,арифметические операции по правилам, следующим из формул