С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

3.4. Приложения сингулярного разложения 259подпространства W превосходит n, размерности всего пространства,то должен существовать ненулевой вектор, лежащий в них обоих. Этоприводит к противоречию.Совершенно аналогичный результат справедлив для фробениусовойнормы матриц, и исторически он был обнаружен даже раньше, чемТеорема 3.4.1:Теорема 3.4.2 (теорема Экарта-Янга [87]) Пусть σ k , u k и v k — сингулярныечисла и левые и правые сингулярные векторы m×n-матрицыA соответственно. Если p < n иA p =p∑σ k u k vk∗k=1— p-ранговое приближение матрицы A, то‖A−A p ‖ F =min ‖A−B‖ F = σ p+1 ,B∈C m×nrank(B)≤pгде ‖ · ‖ F — фробениусова норма матриц. Иными словами, относительнофробениусовой нормы p-ранговое приближение матрицы обеспечиваетнаименьшее отклонение от первоначальной матрицы средивсех матриц ранга не более p.Доказательство опускается.Итак, если младшие сингулярные числа матрицы достаточно малы,то вместо неё можно взять p-ранговое приближение вида (3.36).Оно более «экономно», с меньшим числом параметров, представляетисходную матрицу.3.4г Метод главных компонентВ качестве важного и интересного практического примера, которыйиллюстрирует понятия ранга матрицы, матричной нормы, сингулярныхчисел и сингулярных векторов матрицы и пр. рассмотрим так называемыйметод главных компонент, широко применяемый в анализеданных и статистике.Во многих практических задачах приходится иметь дело с большимимассивами числовых данных, характеризующих какой-либо объект