С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

3.5. Обусловленность систем линейных уравнений 267Примером матриц, обладающих наилучшей возможной обусловленностьюотносительно спектральной нормы, являются ортогональныематрицы, для которых cond 2 (Q) = 1. Действительно, если Q ортогональна,то ‖Qx‖ 2 = ‖x‖ 2 для любого вектора x. Следовательно,‖Q‖ 2 = 1. Кроме того, Q −1 = Q ⊤ и тоже ортогональна, а потому‖Q −1 ‖ 2 = 1.Самым популярным содержательным примером плохообусловленныхматриц являются, пожалуй, матрицы Гильберта H n = (h ij ), которыевстретились нам в §2.10г при обсуждении среднеквадратичногоприближения алгебраическими полиномами на интервале [0,1]. Этосимметричные матрицы, образованные элементамитак что, к примеру,h ij =1i+j −1 ,H 3 =⎛⎜⎝1121 12 31 13 4i,j = 1,2,...,n,131415⎞⎟⎠ .Число обусловленности матриц Гильберта исключительно быстрорастёт в зависимости от их размера n. Воспользовавшись какими-либостандартными процедурами для вычисления числа обусловленностиматриц (встроенными, к примеру, в системы компьютерной математикиScilab, Matlab, Octave, Maple и им подобные), нетрудно найтиследующие числовые данные:cond 2 (H 2 ) = 19.3,cond 2 (H 3 ) = 524,···cond 2 (H 10 ) = 1.6·10 13 ,··· .Существует общая формула [97, 98] :( √ ) (1+ 2)4ncond 2 (H n ) = O √ ≈ O(34 n / √ n),nгде O — «о большое», известный из математического анализа символЭ. Ландау (см. стр. 94). Интересно, что матрицы, обратные к матрицам