С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

382 3. Численные методы линейной алгебрытодов. Например, в стационарных одношаговых итерационных методахпоследовательность погрешностей приближений своими свойствамиочень близка к геометрической прогрессии, и этим обстоятельствомможно с успехом воспользоваться.Пусть задан сходящийся стационарный одношаговый итерационныйметодx (k+1) ← Cx (k) +d, k = 0,1,2,...,в котором ‖C‖ < 1 для некоторой матричной нормы. Ясно, что ввидурезультатов §3.9б о связи спектрального радиуса и матричных нормпоследнее допущение не ограничивает общности нашего рассмотрения.Как оценить отклонение по норме очередного приближения x (k) от пределаx ⋆ := lim k→∞ x (k) , не зная самого этого предела и наблюдая лишьза итерационной последовательностью x (0) , x (1) , . . . , x (k) , . . . ?Как и прежде, имеемx (k) = Cx (k−1) +d,x ⋆ = Cx ⋆ +d.Вычитание второго равенства из первого даётx (k) −x ⋆ = C ( x (k−1) −x ⋆) . (3.131)Перенесём x (k) в правую часть этого соотношения, а затем добавим кобеим частям по x (k−1) :x (k−1) −x ⋆ = x (k−1) −x (k) +C ( x (k−1) −x ⋆) .Возьмём теперь от обеих частей полученного равенства векторную норму,которая согласована с используемой матричной нормой дляC. Применяязатем неравенство треугольника, приходим к оценке∥ x (k−1) −x ⋆∥ ∥ ≤∥ ∥x (k) −x (k−1)∥ ∥ +‖C‖·∥ ∥x (k−1) −x ⋆∥ ∥ ,Перенесение в левую часть второго слагаемого из правой части и последующееделение обеих частей неравенства на положительную величину(1−‖C‖) даёт∥ x (k−1) −x ⋆∥ ∥1≤ ∥ x (k) −x (k−1)∥ ∥ . (3.132)1−‖C‖