С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

2.4. Интерполяция с кратными узлами 75кратными узлами мы приходим, в частности, если степень интерполяционногополинома, который нужно однозначно построить по некоторымузлам, равна либо больше количества этих узлов.Далее задачей алгебраической интерполяции с кратными узламимы будем называть следующую постановку. Даны несовпадающие точкиx i , i = 0,1,...,n, — узлы интерполирования, в которых заданызначения y (k)i , k = 0,1,...,N i − 1, — их принимают интерполируемаяфункции f и её производные f (k) (x). При этом число N i называюткратностью узла x i . Требуется построить полином H m (x) степени m,такой чтоH (k)m (x i ) = y (k)i , i = 0,1,...,n, k = 0,1,...,N i −1. (2.39)Иными словами, в узлах x i , i = 0,1,...,n, как сам полином H m (x),так и все его производные H m (k) (x) вплоть до заданных порядков N iдолжны принимать предписанные им значения y (k)i .Теорема 2.4.1 Решение задачи алгебраической интерполяции с кратнымиузлами при m = N 0 +N 1 +...+N n −1 существует и единственно.Доказательство. В канонической форме полином H m (x) имеет видH m (x) =m∑a l x l ,и для определения его коэффициентов a 0 , a 1 , . . . , a m станем подставлятьв него и в его производные H ′ m (x), H′′ m (x), . . . , аргументы x i ииспользовать условия (2.39). Получим систему линейных алгебраическихуравнений относительноa 0 ,a 1 , . . . ,a m , в которой число уравненийN 0 +N 1 + ...+N n . При m = N 0 +N 1 + ...+N n −1 оно совпадает счислом неизвестных, равным m+1.Обозначим получившуюся систему линейных уравнений какl=0где G — квадратная (m+1)×(m+1)-матрица,Ga = y, (2.40)a = (a 0 ,a 1 ,...,a m ) ⊤ ∈ R m+1 — вектор неизвестныхкоэффициентов интерполяционного полинома,y = ( y (0)0 ,y(1) 0 ,...,y(N0−1) 0 ,y (0) ) ⊤1 ,y(1) 1 ,...,y(Nn−1) n ∈ Rm+1— вектор, составленный из интерполяционных данных (2.39).