С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

3.6. Прямые методы решения линейных систем 291Определение 3.6.2 Представление A = CC ⊤ называется разложениемХолесского, а нижняя треугольная матрица C — множителемХолесского для A.Доказательство. Пусть A = CC ⊤ и C неособенна. Тогда неособеннаматрица C ⊤ , и для любого ненулевого вектора x ∈ R n имеем〈Ax,x〉 = (Ax) ⊤ x = ( CC ⊤ x ) ⊤x= x ⊤ CC ⊤ x = (C ⊤ x) ⊤ (C ⊤ x) = ‖C ⊤ x‖ 2 2 > 0,поскольку C ⊤ x ≠ 0. Кроме того, A симмметрична по построению. Такимобразом, она является симметричной положительно определённойматрицей. 14Обратно, пусть матрица A симметрична и положительно определена.В силу критерия Сильвестера все её ведущие миноры положительны,а потому на основании Теоремы 3.6.2 о существовании LUразложениямы можем заключить, что A = LU для некоторых неособенныхнижней треугольной матрицы L = (l ij ) и верхней треугольнойматрицы U. Мы дополнительно потребуем, чтобы все диагональныеэлементы l ii в L были единицами, так что это разложение будет дажеоднозначно определённым.Так какLU = A = A ⊤ = ( LU ) ⊤= U ⊤ L ⊤ ,тои далееU = L −1 U ⊤ L ⊤ , (3.65)U ( L ⊤) −1= L −1 U ⊤ .Слева в этом равенстве стоит произведение верхних треугольных матриц,а справа — произведение нижних треугольных. Равенство, следовательно,возможно лишь в случае, когда левая и правая его части— это диагональная матрица, которую мы обозначим через D :=diag{d 1 ,d 2 ,...,d n }. Тогда из (3.65) вытекаетU = L −1 U ⊤ L ⊤ = DL ⊤ ,14 Это рассуждение никак не использует факт треугольности C и на самом делеобосновывает более общее утверждение: произведение матрицы на её транспонированнуюявляется симметричной положительно определённой матрицей.