С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

2.12. Численное интегрирование 155узлом. Формально мы будем решать задачу построения такого интерполяционногополинома 3-й степени H 3 (x), чтоH 3 (a) = f(a), H 3 (b) = f(b), (2.116)( a+b) ( a+b) ( a+b)H 3 = f , H 3′ 2 2 2= f ′( a+b), (2.117)2Хотя конкретное значение производной в средней точке (a + b)/2 далееникак не будет использоваться. Здесь нам важно лишь то, что прилюбом значении этой производной решение задачи (2.116)–(2.117) существует,и потребуется оценка его погрешности.Существование и единственность решения подобных задач былаустановлена в §2.4 и там же обосновывается оценка его погрешности(2.44):f(x)−H m (x) = f(m+1)( ξ(x) )(m+1)!n∏(x−x i ) Ni , (2.118)где N i — кратности узлов, m = N 0 +N 1 +...+N n −1 — степень интерполяционногополинома, а ξ(x) — некоторая точка из [a,b], зависящаяот x. Для решения задачи (2.116)–(2.117) справедливоi=0f(x)−H 3 (x) = f(4)( ξ(x) ) (·(x−a) x− a+b ) 2(x−b).24 2Далее, из того, что формула Симпсона точна для полиномов третьейстепени, а также из условий (2.116)–(2.117) следуют равенства∫ baH 3 (x)dx = b−a6= b−a6(·( a+bH 3 (a)+4H 32( ( a+b· f(a)+4f2) )+H 3 (b))+f(b)). (2.119)Отсюда уже нетрудно вывести выражение для погрешности квадра-