С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

3.9. Стационарные итерационные методы 341итерационный процесс, устроенный несколько по-другому, в которомсмещения-коррекции компонент очередного приближения к решению«не одновременны» в том смысле, что находятся последовательно одназа другой не только из предыдущего приближения, но ещё и друг издруга.Пусть A = ˜L+D+Ũ, где⎛00a 21 0 .˜L =a 31 a .. 32 ⎜ .⎝ . . .. 0a n1 a n2 ··· a n,n−1 0⎞⎟⎠— строго нижняятреугольная матрица.D = diag{a 11 ,a 22 ,...,a nn } — диагональ матрицы A,⎛⎞0 a 12 ··· a 1,n−1 a 1n. 0 .. a2,n−1 a 2nŨ =. .. . .⎜⎝0⎟0 a n−1,n ⎠0— строго верхняятреугольная матрица.Тогда итерационный метод Якоби может быть представлен как метод,основанный на таком расщеплении матрицы системы A = G−H (см.§3.9в), чтоG = D, H = −(˜L+Ũ).Соответственно, в матричном виде метод Якоби записывается какx (k+1) ← −D −1 (˜L+Ũ)x(k) +D −1 b, k = 0,1,2,... .Теперь нетрудно дать условия его сходимости, основываясь на общемрезультате о сходимости стационарных одношаговых итераций(Теорема 3.9.1). Именно, метод Якоби сходится из любого начальньногоприближения тогда и только тогда, когдаρ ( D −1 (˜L+Ũ)) < 1.