С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

96 2. Численные методы анализаназываются естественными или натуральными сплайнами. Их замечательноесвойство состоит в том, что они минимизируют функционалE(f) =∫ ba(f ′′ (x) ) 2dx,выражающий в первом приближении энергию упругой деформациигибкой стальной линейки, форма которой описывается функцией f(x)на интервале [a,b]. Краевые условия (2.57) соответствуют при этом линейке,свободно закреплённой на концах.Как известно, потенциальная энергия изгибания малого участкаупругого тела пропорциональна квадрату его кривизны (скорости изгибанияв зависимости от длины дуги) в данной точке. Кривизна плоскойкривой, задаваемой уравнением y = f(x), равна, как известно,f ′′ (x)(1+(f′ (x)) 2) 3/2(см., к примеру, [34, 58]). Поэтому упругая энергия однородной линейки,принимающей форму кривой y = f(x) на интервале [a,b], приусловии приблизительного постоянства f ′ (x), пропорциональна∫ ba(f ′′ (x) ) 2dx.Теорема 2.6.2 Если S(x) — естественный сплайн, построенный поузлам a = x 0 < x 1 < ... < x n = b, а ϕ(x) — любая другая дваждыгладкая функция, принимающая в этих узлах те же значения, чтои S(x), то E(ϕ) ≥ E(S), причём неравенство строго для ϕ ≠ S.Доказательство этого факта не очень сложно и может быть найдено,к примеру, в [2, 10, 32].Будучи предоставленной самой себе, упругая линейка, закреплённаяв узлах интерполирования, принимает форму, которая, как известноиз физики, должна минимизировать энергию своей упругой деформации.Таким образом, эта форма очень близка к кубическому сплайну.Сформулированное свойство называют экстремальным свойствоместественных сплайнов, 10 и оно служит началом большого и важногонаправления в теории сплайнов.10 Иногда также говорят о вариационном свойстве естественных сплайнов.