С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

2.12. Численное интегрирование 159формулам (2.122), т. е. она является квадратурной формулой интерполяционноготипа.В самом деле, для базисных интерполяционных полиномов φ i (x)выполнено свойство (2.9)φ i (x j ) = δ ij ={0, при i ≠ j,1, при i = j,и они имеют степень n. Следовательно, применяя рассматриваемуюквадратурную формулу для вычисления интеграла от φ i (x), получим∫ baφ i (x)dx =n∑c k φ i (x k ) =k=0n∑c k δ ik = c i ,k=0и это верно для всех i = 0,1,...,n. Иными словами, имеет место равенство(2.122), что и требовалось доказать.В частности, если в интерполяционной квадратурной формуле вместоподинтегральной функции взять полином P 0 (x) = x 0 = 1, то получаемравенство∫ b n∑b−a = 1dx = c k ,a— сумма весов такой квадратурной формулы равна длине интервалаинтегрирования.Из (2.121) ясно, что погрешность интерполяционных квадратурныхформул равнаR(f) =∫ bak=0R n (f,x)dx,где R n (f,x) — остаточный член алгебраической интерполяции. В §2.2дбыла получена оценка для R n (f,x) в форме Коши (2.24)R n (f,x) = f(n+1)( ξ(x) )·ω n (x),(n+1)!где ξ(x) ∈ [a,b], и поэтомуR(f) =1(n+1)!∫ baf (n+1)( ξ(x) ) ω n (x)dx.