С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

2.8. Численное дифференцирование 115и брать меньший шаг численного дифференцирования смысла нет. Самозначение достигаемой при этом полной погрешности есть E(h ∗ ,δ) =2 √ δM 2 .Пример 2.8.4 Пусть в арифметике двойной точности с плавающейточкой, реализованной согласно стандарту IEEE 754/854, численно находитсяпроизводная функции, выражение для которой требует десятьвычислений, а модуль второй производной ограничен сверху величинойM 2 = 10. Погрешность отдельной арифметической операции можносчитать приближённо равной половине расстояния между соседнимимашинно представимыми числами, т. е. примерно 10 −16 в районеединицы. Наконец, пусть абсолютная погрешность вычисления функциискладывается из сумм абсолютных погрешностей каждой операции,так что δ ≈ 10·10 −16 = 10 −15 при аргументах порядка единицы.Тогда в соответствии с формулой (2.78) имеем h ∗ = 2 √ δ/M 2 =2·10 −8 , т. е. брать шаг сетки меньше 10 −8 смысла не имеет. E(h,δ)✻✲0 hРис. 2.15. Типичный график полной погрешностичисленного дифференцированияСовершенно аналогичная ситуация имеет место и при использованиидругих формул численного дифференцирования. Производная k-го порядка на равномерной сетке шага h определяется в общем случае