С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

54 2. Численные методы анализаПонятию разделённой разности можно также придать смысл для случаясовпадающих узлов x i = x i+1 , если понимать его как результатпредельного перехода при x i → x i+1 (см. подробности, к примеру, в[17, 56]).Нетрудно увидеть геометрический смысл разделённой разности первогопорядка. Будучи отношением приращения функции к приращениюеё аргумента, это угловой коэффициент (тангенс угла наклона коси абсцисс) секущей графика функции y = f(x), взятой между точкамис аргументами x i и x i+1 . В общем случае разделённая разностьфункции — это «средняя скорость» её изменения на рассматриваемоминтервале, в отличие от «мгновенной скорости» изменения функции вточке, выражаемой её производной f ′ (x).f(x i+1 )f(x i )x i x i+1Рис. 2.4. Иллюстрация смысла разделённых разностей,как углового коэффициента секущей графика функцииЕсли ˇx — какая-то фиксированная точка, то для любой другой точкиx имеет место равенствоf(x) = f(ˇx)+f ∠ (ˇx,x)(x− ˇx),аналогичное формуле Тейлора, в которой удержаны лишь члены первогопорядка. В связи с этим уместно упомянуть, что разделённуюразность иногда называют наклоном функции между заданными точками(см. [13]). Разделённые разности-наклоны могут быть определеныдля функций многих переменных и даже для операторов, действующихиз одного абстрактного пространства в другое. Интересно, что в началеXX века для обозначения этой конструкции использовался такжетермин «подъём функции» [64]. В математических текстах для разделённыхразностей функции f по точкам x i , x i+1 , . . . , x i+k нередко