С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

74 2. Численные методы анализаs = 0,1,...,n. Они получаются с помощью линейного преобразования(2.34) из аргументов x s = cos(sπ/n), s = 0,1,...,n, доставляющих максимумымодуля полиному Чебышёва на [−1,1]. Дальнейшие рассужденияповторяют доказательство Предложения 2.3.2, так как спецификаинтервала [−1,1] там, фактически, никак не использовалась. Обратимся к поставленной в конце §2.2д задаче наиболее выгодногорасположения узлов алгебраического интерполянта заданной степениn на некотором интервале [a,b]. Возьмём эти узлы корнями полинома(2.37), который получается в результате замены переменных (2.35) изполинома Чебышёва (n+1)-ой степени T n+1 (x), т. е. какx k = 1 2 (b+a)+ 1 2 (b−a) cos ( (2k +1)π2(n+1)Тогда соответствующий полиномω n (x) = (x−x 0 )(x−x 1 )...(x−x n ),), k = 0,1,...,n. (2.38)который фигурирует в формуле (2.24) для остаточного члена интерполяции,совпадёт с полиномом (n+1)-ой степени вида (2.37). При этомω n (x) будет иметь наименьшее отклонение от нуля на [a,b] в равномерной(чебышёвской) метрике (2.1), и в смысле этой метрики погрешностьинтерполирования при прочих равных условиях будет наименьшей возможной.Узлы интерполяции (2.38) называют чебышёвскими узламина интервале [a,b], а в совокупности они образуют чебышёвскую сеткуна [a,b].Помимо интерполирования полиномы Чебышёва и их обобщенияимеют и другие важные применения в различных задачах вычислительнойматематики и анализа [45, 57]. Очень важное значение имеют,к примеру, разложения функций в ряды по полиномам Чебышёва.2.4 Алгебраическая интерполяцияс кратными узламиКратным узлом называют, по определению, узел, в котором информацияо функции задаётся более одного раза. Помимо значенияфункции это может быть какая-либо дополнительная информация оней, например, значения производных и т. п. К задаче интерполяции с