С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

3.14. Оценка погрешности приближённого решения 3813.14 Оценка погрешностиприближённого решенияВ этом параграфе мы рассмотрим практически важный вопрос обоценке погрешности приближённого решения систем линейных алгебраическихуравнений. Первый способ носит общий характер и можетприменяться в любых ситуациях, в частности, не обязательно в связис итерационными методами.Пусть ˜x — приближённое решение системы уравнений Ax = b, тогдакак x ∗ — её точное решение. Тогда, принимая во внимание, что I =A −1 A и Ax ∗ = b,‖˜x−x ∗ ‖ = ∥ ∥A −1 A˜x−A −1 Ax ∗∥ ∥= ∥ ∥ A −1 (A˜x−Ax ∗ ) ∥ ∥≤ ∥ ∥ A−1 ∥ ∥ ∥ ∥ A˜x−b∥ ∥, (3.130)где матричная и векторная нормы, естественно, должны быть согласованы.Величина (A˜x − b) — это невязка приближённого решения ˜x,которую мы обычно можем вычислять непосредственно по ˜x. Как следствие,погрешность решения можно узнать, найдя каким-либо образомили оценив сверху норму обратной матрицы ‖A −1 ‖.Иногда из практики можно получать какую-то информацию о значении‖A −1 ‖. Например, если A — симметричная положительно определённаяматрица и известна нижняя граница её спектра µ > 0, то‖A −1 ‖ 2 ≤ 1/µ. Напомним, что аналогичную информацию о спектрематрицы СЛАУ мы использовали при оптимизации скалярного предобуславливателяв §3.9г. Такова ситуация с численным решением некоторыхпопулярных уравнений математической физики (уравнением Лапласаи его обобщениями, к примеру), для которых дискретные аналогисоответствующих дифференциальных операторов хорошо изученыи известны оценки их собственных значений.В общем случае быстрое нахождение ‖A −1 ‖ или хотя бы разумныхоценок в какой-то норме для ‖A −1 ‖ сверху, более быстрое, чем решениеисходной СЛАУ, является нетривиальным делом. Краткий обзор существующихчисленных процедур для этой цели («оценщиков» обратнойматрицы) и дальнейшие ссылки на литературу можно найти в [13].Для конкретных численных методов оценка погрешности приближённогорешения иногда может быть выведена из свойств этих ме-