С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

4.2. Вычислительно-корректные задачи 435Если неизвестная x не явлется конечномерным вектором, а отображенияF и G имеют весьма общую природу, то математические свойствауравнений (4.2) и (4.4) могут существенно различаться, так чтопри этом формы записи (4.2) и (4.4), строго говоря, не вполне равносильныдруг другу. По этой причине для их обозначения часто употребляютотдельные термины — уравнение первого рода и уравнениевторого рода соотвественно.Обращаясь к решению нелинейных уравнений и их систем, мы обнаруживаемсебя в гораздо более сложных условиях, нежели при решениисистем линейных алгебраических уравнений (3.43)–(3.44). Стройнаяи весьма полная теория разрешимости систем линейных уравнений,базирующаяся на классических результатах линейной алгебры,обеспечивала в необходимых нам случаях уверенность в существованиирешения систем линейных уравнений и его единственности. Длянелинейных уравнений столь общей и простой теории не существует.Напротив, нелинейные уравнения и их системы имеют в качестве общегопризнака лишь отрицание линейности, т. е. то, что все они «нелинейны», и потому отличаются огромным разнообразием. Из общихнелинейных уравнений и систем уравнений принято выделять алгебраическиеуравнения и системы уравнений, в которых функции F i (x)являются алгебраическим полиномами относительно неизвестных переменныхx 1 , x 2 , . . . , x n .4.2 Вычислительно-корректные задачи4.2а Предварительные сведения и определенияНапомним общеизвестный факт: на вычислительных машинах (какэлектронных, так и механических, как цифровых, так и аналоговых)мы можем выполнять, как правило, лишь приближённые вычислениянад полем вещественных чисел R. Для цифровых вычислительных машинэтот вывод следует из того, что они являются дискретными и конечнымиустройствами, так что и ввод вещественных чисел в такую вычислительнуюмашину и выполнение с ними различных арифметическихопераций сопровождаются неизбежными ошибками, вызваннымиконечным характером представления чисел, конечностью исполнительныхустройств и т. п. Для аналоговых вычислительных машин данныетакже не могут быть введены абсолютно точно, и процесс вычисленийтакже не абсолютно точен. Потенциально все отмеченные погрешности