С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

188 2. Численные методы анализастепени 2(n−1) должно выполняться точное равенство∫ baΠ i (x)dx =n∑c k Π i (x k ). (2.143)k=1Но Π i (x k ) = δ ik по построению полинома Π i , так что от суммы справав (2.143) остаётся лишь одно слагаемое c i Π i (x i ):Следовательно,∫ bac i =Π i (x)dx = c i Π i (x i ).∫ ba/Π i (x)dx Π i (x i ).Далее, Π i (x) > 0 всюду на интервале интегрирования [a,b] за исключениемконечного числа точек, и потому положителен интеграл вчислителе выписанного выражения. Кроме того, Π i (x i ) > 0, откудаможно заключить, что c i > 0.Напомним, что сумма весов формул Гаусса равна длине интервалаинтегрирования (как и для всех интерполяционных квадратурныхформул, см. §2.12г). Как следствие, величина (2.142) при этом ограничена,и квадратурный процесс по формулам Гаусса всегда сходится.Завершая тему, можно отметить, что ситуация со сходимостью квадратуроказывается в целом более благоприятной, чем для интерполяционныхпроцессов.2.16 Вычисление интеграловметодом Монте-КарлоВ методе Монте-Карло, называемом также методом статистическогомоделирования, искомое решение задачи представляется в видекакой-либо характеристики специально построенного случайного процесса.Затем этот процесс моделируется, с помощью ЭВМ или какимитодругими средствами, и по его реализации мы вычисляем нужнуюхарактеристику, т. е. решение задачи. Наиболее часто решение задачпредставляется так называемым математическим ожиданием (среднимзначением) специально подобранной случайной величины.