С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

3.16. Проблема собственных значений 393когда все собственные значения матрицы A различны. Именно в этомслучае, как было отмечено в §3.16б, собственные векторы непрерывнозависят от элементов матрицы и, более того, существуют их конечныедифференциалы.Пусть A — данная матрица и dA — дифференциал (главная линейнаячасть) её возмущения, так что A + dA — это близкая к A возмущённаяматрица. Как изменятся собственные значения и собственныевекторы матрицы A + dA в сравнении с собственными значениями исобственными векторами A?ИмеемAx i = λ i x i ,(A+dA)(x i +dx i ) = (λ i +dλ i )(x i +dx i ),где через λ i обозначены собственные значения A, x i — собственные векторы,i= 1,2,...,n, причём последние образуют базис в R n , коль скоропо предположениюAявляется матрицей простой структуры. Пренебрегаячленами второго порядка малости, можем выписать равенство(dA)x i +A(dx i ) = λ i (dx i )+(dλ i )x i . (3.139)Пусть y 1 , y 2 , . . . , y n — собственные векторы эрмитово-сопряжённойматрицы A ∗ , соответствующие её собственным значениям λ 1 , λ 2 , . . . ,λ n . Умножая скалярно равенство (3.139) на y j , получим〈(dA)x i ,y j 〉+〈A(dx i ),y j 〉 = λ i 〈dx i ,y j 〉+(dλ i )〈x i ,y j 〉. (3.140)В частности, при j = i имеем〈(dA)x i ,y i 〉+〈A(dx i ),y i 〉 = λ i 〈dx i ,y i 〉+(dλ i )〈x i ,y i 〉,где соседние со знаком равенства члены можно взаимно уничтожить:они оказываются одинаковыми, коль скороСледовательно,и потому〈A(dx i ),y i 〉 = 〈dx i ,A ∗ y i 〉 = 〈dx i ,λ i y i 〉 = λ i 〈dx i ,y i 〉.〈(dA)x i ,y i 〉 = (dλ i )〈x i ,y i 〉,dλ i = 〈(dA)x i,y i 〉.〈x i ,y i 〉