С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

30 1. Введението интервальная оценка производной на заданном интервале областиопределения есть1([1,3]+1) 2 = [ 116 , ]14Поэтому если в качестве центра разложения взять середину интервалаmid x = 2, тоf(mid x)+f ′ (x)(x−mid x) = 2 3 +[ 116 , 1 4]·[−1,1]= 2 3 +[ − 1 4 , 1 4]=[ 512 , 1112].Как видим, этот результат значительно точнее естественного интервальногорасширения (1.19).За дальнейшей информацией мы отсылаем заинтересованного читателяк книгам [1, 24, 28, 29], развёрнуто излагающим построениеинтервальных расширений функций. Важно отметить, что точностьинтервального оценивания при использовании любой из форм интервальногорасширения критическим образом зависит от ширины брусаоценивания. Если обозначить через f(x) точную область значений целевойфункции на x, т. е. f(x) = {f(x) | x ∈ x}, то для естественногоинтервального расширения липшицевых функций имеет место неравенствоdist ( f ♮(x),f(x) ) ≤ C‖wid x‖ (1.20)с некоторой константой C, и этот факт обычно выражают словами«естественное интервальное расширение имеет первый порядок точности».Для центрированной формы верно соотношениеdist ( f c (x,˜x),f(x) ) ≤ 2(wid g(x,˜x)) ⊤ |x− ˜x|, (1.21)где g(x,˜x) = (g 1 (x,˜x),g 2 (x,˜x),...,g n (x,˜x)). В случае, когда интервальныеоценки для функций g i (x,˜x) находятся с первым порядкомточности, общий порядок точности центрированной формы согласно(1.21) будет уже вторым. Вывод этих оценок заинтересованный читательможет найти, к примеру, в [24, 29].Интервальные оценки областей значений функций, которые находятсяс помощью интервальных расширений, оказываются полезнымив самых различных вопросах вычислительной математики. В частности,с помощью интервального языка очень элегантно записываютсяостаточные члены различных приближённых формул. В качестве