С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

114 2. Численные методы анализагде M 2 = max ξ∈[a,b] |f ′′ (ξ)|. Если значения функции вычисляются сошибками, то вместо точных f i и f i+1 мы получаем их приближённыезначения ˜f i и ˜f i+1 , такие что|f i − ˜f i | ≤ δ и |f i+1 − ˜f i+1 | ≤ δ,где через δ обозначена предельная абсолютная погрешность вычислениязначений функции. Тогда в качестве приближённого значения производноймы должны взятьf ′ (x i ) ≈ ˜f i+1 − ˜f i,hа предельную полную вычислительную погрешность E(h,δ) нахожденияпервой производной функции можно оценить следующим образом:E(h,δ) =≤∣∣˜f i+1 − ˜f ih˜f i+1 − ˜f ih−f ′ (x i )∣− f i+1 −f ih∣ ∣∣∣ ∣ + f i+1 −f i−f ′ (x i )h ∣≤(˜f i+1 −f i+1 )+(f i − ˜f i )∣ h ∣ + M 2h2(2.77)≤ |f i+1 − ˜f i+1 |+|f i − ˜f i |+ M 2h= 2δh 2 h + M 2h2 .Отметим, во-первых, что эта оценка, достижима при подходящемсочетании знаков фигурирующих в неравенствах величин, коль скородостижимо используемое в преобразованиях неравенство треугольника|a+b| ≤ |a|+|b| и достижима оценка погрешности (2.74) для формулы«разность вперёд». Во-вторых, оценка не стремится к нулю при уменьшениишага h, так как первое слагаемое неограниченно увеличиваетсяпри h → 0. В целом, функция E(h,δ) при фиксированном δ имеет минимум,определяемый условием∂E(h,δ)= ∂ ( 2δ∂h ∂h h + M )2h= − 2δ2 h 2 + M 22 = 0.То есть, оптимальное значение шага численного дифференцирования,при котором достигается минимальная полная погрешность, равноh ∗ = 2 √ δ/M 2 , (2.78)