С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

3.10. Нестационарные итерационные методы 369где x (0) — начальное приближение, s (i) , i = 1,2,...,n, — векторы «сопряжённыхнаправлений»,c i — коэффициенты разложения решения поним. Термин «сопряжённые направления» имеет происхождение в аналитическойгеометрии, где направления, задаваемые векторами u и v,называются сопряжёнными относительно поверхности второго порядка,задаваемой уравнением 〈Rx,x〉 = const c симметричной матрицейR, если 〈Ru,v〉 = 0. В методах сопряжённых направлений последовательностроится базис из векторов s (i) и одновременно находятся коэффициентыc i , i = 1,2,...,n.Наиболее популярными представителями методов споряжённых направленийявляются методы сопряжённых градиентов, предложенныеМ.Р. Хестенсом и Э.Л. Штифелем в начале 50-х годов прошлого века.Их общая схема такова.Пусть требуется найти решение системы линейных алгебраическихуравненийAx = bс симметричной и положительно определённой матрицей A. Для такойматрицы имеет смысл понятие A-ортогональности, и пусть s (1) ,s (2) , . . . , s (n) — базис R n , составленный из A-ортогональных векторов.Решение x ⋆ системы уравнений можно искать в виде разложения поэтому базису, т. е.n∑x ⋆ = x i s (i) (3.117)i=1с какими-то неизвестными коэффициентами x i , i = 1,2,...,n. Умножаяобе части этого равенства слева на матрицу A и учитывая, чтоAx ⋆ = b, будем иметьn∑x i (As (i) ) = b.i=1Если далее умножить скалярно это равенство на s (j) , j = 1,2,...,n, тополучим n штук соотношенийn∑x i 〈As (i) ,s (j) 〉 = 〈b,s (j) 〉, j = 1,2,...,n. (3.118)i=1Но в силу A-ортогональности системы векторов s (1) , s (2) , . . . , s (n){ 0, если i ≠ j,〈As (i) ,s (j) 〉 = 〈s (i) ,s (j) 〉 A = δ ij =1, если i = j,