С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

2.13. Квадратурные формулы Гаусса 179равнаR(f) = f(2n) (θ)(2n)!∫ ba(ω(x)) 2dx,где θ ∈ ]a,b[.Узлыx 1 ,x 2 , . . . ,x n — это корни полинома, полученного из полиномаЛежандра линейной заменой переменных. По этой причине интеграл вполученной формуле для погрешности можно вычислить точно, приведяего заменой переменных к интервалу [−1,1] и воспользовавшисьрезультатом Предложения 2.11.1. Это даётR(f) =(n!) 4((2n)!) 3(2n+1) (b−a) 2n+1 f (2n) (θ) (2.137)для некоторой промежуточной точки θ из интервала интегрирования]a,b[. Иногда удобнее грубая оценка|R(f)| ≤(n!) 4((2n)!) 3(2n+1) M 2n (b−a) 2n+1 ,где, как обычно, обозначено M p = max x∈[a,b] |f (p) (x)|.В частности, для формулы Гаусса (2.130)–(2.131) с двумя узлами|R 2 (f)| ≤ M 4(b−a) 5,4320что даже лучше оценки погрешности для формулы Симпсона. Практическоеповедение этой погрешности мы могли видеть в Примере 2.13.1.Отметим, что выведенная оценка (2.137) справедлива лишь при достаточнойгладкости подинтегральной функции f(x). Вообще, квадратурныеформулы Гаусса с большим числом узлов целесообразно применятьлишь для функций, обладающих значительной гладкостью.Другое важное наблюдение состоит в том, что в выражении (2.137)числитель (n!) 4 с ростом n может быть сделан сколь угодно меньшимзнаменателя, превосходящего ((2n)!) 4 . Как следствие, если производныеподинтегральной функции не растут «слишком быстро» с увеличениемпорядка, то с ростом числа узлов и гладкости интегрируемойфункции порядок точности квадратурных формул Гаусса может бытьсделан сколь угодно высоким. В этом квадратуры Гаусса принципиальноотличаются, к примеру, от интерполяции с помощью сплайнов, котораясталкивается с ограничением на порядок сходимости, не зависящим