С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

210 3. Численные методы линейной алгебрыпонятий левого и правого собственных векторов. Ясно, что при этомdet(A ∗ −µI) = 0.Исследуем подробнее так называемую сопряжённую задачу на собственныезначения. Этим термином называют задачу нахождения собственныхчисел и собственных векторов для эрмитово сопряжённойматрицы A ∗ :A ∗ y = κy,где κ ∈ C — собственное значение матрицы A ∗ и y ∈ C n — соответствующийсобственный вектор. Как связаны между собой собственныезначения и собственные векторы исходной A и сопряжённой A ∗ матриц?Для ответа на этот вопрос нам понадобитсяОпределение 3.2.1 Два набора из одинакового количества векторов{r 1 ,r 2 ,...,r m } и {s 1 ,s 2 ,...,s m } в евклидовом или унитарном пространственазываются биортогональными, если 〈r i ,s j 〉 = 0 при i ≠ j.Приставка «би» в термине «биортогональность» означает, что введённоесвойство относится к двум наборам векторов.Ясно, что выполнение свойства биортогональности существенно зависитот порядка нумерации векторов в пределах каждого из наборов,так что в определении биортогональности неявно предполагается, чтонеобходимые нумерации существуют и рассматриваемые наборы упорядоченыв соответствии с ними. Нетрудно также понять, что есликакой-либо набор векторов биортогонален сам себе, то он ортогоналенв обычном смысле.Предложение 3.2.2 Собственные значения эрмитово-сопряжённыхматриц попарно комплексно сопряжены друг другу. Собственные векторыэрмитово сопряжённых матриц биортогональны.Доказательство. Определитель матрицы, как известно, не меняетсяпри её транспонировании, т. е.detA ⊤ = detA. Комплексное сопряжениеэлементов матрицы влечёт комплексное сопряжение её определителя,detA = detA. Следовательно,det(A−λI) = det(A−λI) ⊤ = det(A ⊤ −λI)= det ( A ⊤ −λI ) = det ( A ∗ −λI ) .