С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

450 4. Решение нелинейных уравнений и их системтопологическая степень такого отображения φ границы ∂D в единичнуюсферу пространства R n , чтоφ(x) = ‖Φ(x)‖ −1 Φ(x).Зачем нам понадобилось понятие вращения векторного поля? Мысобираемся использовать его для характеризации «прохождения черезнуль» многомерной функции, и теоретической основой этого шага служатследующие результаты:Предложение 4.3.1 [54, 55, 57] Если векторное поле Φ невырожденона замыкании ограниченной области D, то вращение γ(Φ,D) = 0.Теорема 4.3.1 (теорема Кронекера) [54, 55, 57] Пусть векторное полеΦ невырождено на границе ограниченной области D и непрерывно наеё замыкании. Если γ(Φ,D) ≠ 0, то поле Φ имеет в D по крайнеймере одну особую точку.Теорема Кронекера обладает очень большой общностью и частоприменяется не напрямую, а служит основой для более конкретныхдостаточных условий существования нулей поля или решений системуравнений. Например, доказательство теоремы Миранды (см. §4.4б)сводится, фактически, к демонстрации того, что на границе областивращение векторного поля, соответствующего исследуемому отображению,равно ±1.4.3в Индексы особых точекСтанем говорить, что особая точка является изолированной, если внекоторой её окрестности нет других особых точек рассматриваемоговекторного поля. Таким образом, вращение поля одинаково на сферахдостаточно малых радиусов с центром в изолированной особой точке˜x. Это общее вращение называют индексом особой точки ˇx поля Φ илииндексом нуля ˇx поля Φ, и обозначают ind (ˇx,Φ).Итак, оказывается, что особые точки векторных полей (и решениясистем уравнений) могут быть существенно разными, отличаясь другот друга своим индексом, и различных типов особых точек существуетстолько же, сколько и целых чисел, т. е. счётное множество. Какими являютсянаиболее часто встречающиеся особые точки и, соответственно,решения систем уравнений? Ответ на этот вопрос даётся следующимидвумя результатами: