С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

418 3. Численные методы линейной алгебрыПоложим t := sinθ/cosθ = tgθ. Вспоминая далее тригонометрическуюформулу для тангенса двойного углаtg(2θ) = 2tgθ1−tg 2 θ ,мы можем прийти к выводу, что t является корнем квадратного уравненияt 2 +2τt−1 = 0с положительным дискриминантом (4τ 2 +4), которое, следовательно,всегда имеет вещественные корни. Отсюда находится сначала t:t = −τ ± √ τ 2 +1,причём из двух корней мы берём наименьший по абсолютной величине.Он равенt = −τ +sgn τ ·√τ 2 +1, если τ ≠ 0,t = ±1, если τ ≠ 0,и первую формулу для улучшения численной устойчивости лучше записатьв виде, освобождённом от вычитания близких чисел:t = (−τ +sgn τ ·√τ 2 +1)(τ +sgn τ ·√τ 2 +1)(τ +sgn τ ·√τ 2 +1)=1(τ +sgn τ ·√τ 2 +1)при τ ≠ 0.Затем на основе известных тригонометрических формул, выражающихкосинус и синус через тангенс, находим c и s:c =1√t2 +1 ,s = t·c.Займёмся теперь обоснованием сходимости метода Якоби для решениясимметричной проблемы собственных значений.Предложение 3.17.2 Фробениусова норма матрицы A, т.е.( n 1/2∑‖A‖ F = aij) 2 ,i,j=1