С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

2.2. Интерполирование функций 51где φ i (x) — полином степени n, такой что{0, при i ≠ j,φ i (x j ) = δ ij =1, при i = j,(2.9)i,j = 0,1,...,n, и посредством δ ij обозначен символ Кронекера. Полиномy i φ i (x) имеет степень n и решает задачу интерполяции для значений(0,...,0,y i ,0,...,0) в узлах x 0 , x 1 , . . . , x n , i = 0,1,...,n, и потомуполиномP n (x), задаваемый представлением (2.8), в целом действительноудовлетворяет условиям задачи.Коль скоро φ i (x) зануляется в точках x 0 , . . . , x i−1 , x i−1 , . . . , x n , тоясно, что он должен иметь видφ i (x) = Φ i (x−x 0 )···(x−x i−1 )(x−x i+1 )···(x−x n ). (2.10)В правой части этого равенства произведение n линейных по x членовдаёт полином степени n, так что Φ i должно быть некоторым числовыммножителем. Для его определения подставим в выражение (2.10)значение аргумента x = x i , откуда в силу (2.9) получаетсяСледовательно,и потомуΦ i (x i −x 0 )···(x i −x i−1 )(x i −x i+1 )···(x i −x n ) = 1.Φ i =1(x i −x 0 )···(x i −x i−1 )(x i −x i+1 )···(x i −x n ) ,φ i (x) = (x−x 0)···(x−x i−1 )(x−x i+1 )···(x−x n )(x i −x 0 )···(x i −x i−1 )(x i −x i+1 )···(x i −x n ) .Полиномыφ i (x) называют базисными полиномами Лагранжа, а иногдатакже полиномами влияния i-го узла (последний термин объясняетсяусловием (2.9)).В целом, из (2.8) следует, что задачу алгебраической интерполяциирешает полином∏ n∑j≠iP n (x) = y (x−x j)i ∏j≠i (x i −x j ) . (2.11)i=0