С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

186 2. Численные методы анализалы:R n (f) ===∫ ba∫ ba∫ baf(x)dx −n∑k=0c (n)k f( x (n) )k(f(x)−PN (x) ) bdx +∫P N (x)dx −(f(x)−PN (x) ) dx( ∫ b+ P N (x)dx −a+n∑k=0an∑k=0(c (n)kn∑k=0c (n)k P ((n)) )N xkP N(x(n)kc (n)k f( x (n) )k) ((n)) )−f xk.Отдельные слагаемые полученной суммы, расположенные выше в различныхстрочках, оцениваются при достаточно больших номерахnследующимобразом:∫ b( f(x)−PN (x) ) dx∣ a ∣ ≤ ǫ(b−a), так как P N(x) приближает f(x)равномерно с погрешностью ǫна интервале [a,b],∣∣∫ bak=0P N (x)dx −n∑k=0n∑ (c (n) ((n)) ((n)) )∣ ∣∣∣kP N xk −f x ≤ ǫc (n)k P ((n)) ∣ ∣∣∣N xk≤ ǫ, так как квадратурысходятся на полиномах,kn∑∣ (n)c ∣ ≤ ǫC в силу (2.141).k=0Поэтому в целом, если n достаточно велико, имеем|R n (x)| ≤ ǫ(b−a+1+C).Это и означает сходимость рассматриваемого квадратурного процесса.Доказательство необходимости условия теоремы Стеклова-Пойа помимооригинальной статьи [72] можно найти также в книгах [3, 25].k