С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

3.9. Стационарные итерационные методы 325уравнений) и решение вопроса о том, как можно на основе этой информациикорректировать приближение к решению, составляет важнейшуючасть работы по конструированию итерационных методов.Мы подробно рассматриваем различные итерационные методы длярешения нелинейных уравнений и систем уравнений в Главе 4, а здесьосновное внимание будет уделено итерационному решению систем линейныхалгебраических уравнений и проблемы собственных значений.Причины, по которым для решения систем линейных уравненийитерационные методы могут оказаться более предпочтительными, чемпрямые, заключаются в следующем. Большинство итерационных методовявляются самоисправляющимися, т. е. такими, в которых погрешность,допущенная в вычислениях, при сходимости исправляется в ходеитерирования и не отражается на окончательном результате. Это следуетиз конструкции оператора перехода, в котором обычно по самомуего построению присутствует информация о решаемой системе уравнений(что мы увидим далее на примерах). При выполнении алгоритмаэта информация на каждом шаге вносится в итерационный процесси оказывает влияние на его ход. Напротив, прямые методы решенияСЛАУ этим свойством не обладают, так как, оттолкнувшись от исходнойсистемы, мы далее уже не возвращаемся к ней, а оперируем с еёследствиями, которые никакой обратной связи от исходной системы неполучают. 19Нередко итерационные процессы сравнительно несложно программируются,так как представляют собой повторяющиеся единообразныепроцедуры, применяемые к последовательным приближениям к решению.При решении СЛАУ с разреженными матрицами в итерационныхпроцессах нередко можно легче, чем в прямых методах, учитыватьструктуру нулевых и ненулевых элементов матрицы и основывать наэтом упрощённые формулы матрично-векторного умножения, которыесущественно уменьшают общую трудоёмкость алгоритма.Иногда системы линейных алгебраических уравнений задаются воператорном виде, рассмотренном нами в начале §3.6 (стр. 274) т. е.так, что их матрица и правая часть не выписываются явно. Вместо этогозадаётся действие такой матрицы (линейного оператора) на любойвектор, и это позволяет строить и использовать итерационные методы.С другой стороны, преобразования матриц таких систем, которые яв-19 Для исправления этого положения прямые методы решения СЛАУ в ответственныхситуациях часто дополняют процедурами итерационного уточнения. См.,к примеру, пункт 67 главы 4 в [42].