С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

100 2. Численные методы анализафункции не может быть выписана в виде выражения или детерминированнойпрограммы, то альтернатив численному дифференцированиюнет. В частности, иногда в виде такого «чёрного ящика» мы вынужденыпредставлять вычисление значений функции, аналитическое выражениедля которой существует, но является слишком сложным илинеудобным для дифференцирования первыми двумя способами.В основе методов численного дифференцирования лежат различныеидеи. Самая первая состоит в том, чтобы доопределить (восстановить)таблично заданную функцию до функции непрерывного аргумента, ккоторой уже применима обычная операция дифференцирования. Теорияинтерполирования, которой посвящены предшествующие параграфы,может оказаться в высшей степени полезной при реализации такогоподхода. В частности, таблично заданную функцию можно заменитьеё интерполяционным полиномом, и его производные считать производнымирассматриваемой функции. Для этого годится также интерполяциясплайнами или какими-либо другими функциями, а в целомописанный выше подход к численному дифференцированию называютинтерполяционным подходом.2.8а Интерполяционный подходИтак, пусть задан набор узлов x 0 , x 1 , . . . , x n ∈ [a,b], т. е. сетка с шагомhi = x i −x i−1 ,i = 1,2,...,n. Кроме того, заданы значения функцииf 0 , f 1 , . . . , f n , такие что f i = f(x i ), i = 0,1,...,n. Ниже мы рассмотримпростейший вариант интерполяционного подхода, в котором используетсяалгебраическая интерполяция.Начнём со случая, когда применяется интерполяционный полиномпервой степени, который мы строим по двум соседним узлам сетки, т. е.по x i−1 и x i , i = 1,2,...,n:P 1,i (x) = x−x ix i−1 −x if i−1 + x−x i−1x i −x i−1f i= f i −f i−1x i −x i−1x+ f i−1x i −f i x i−1x i −x i−1,где у интерполяционного полинома добавлен дополнительный индекс«i», указывающий на ту пару узлов, по которым он построен. Поэтомупроизводная равнаP ′ 1,i (x) = f i −f i−1x i −x i−1= f i −f i−1h i.