С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

2.10. Приближение функций 119Описанную выше идею можно применить к вычислению вторыхпроизводных. Но теперь вместо дифференциальной арифметики парчисел (u,u ′ ) нам необходимо будет оперировать с числовыми тройкамивида (u,u ′ ,u ′′ ), поскольку в формулах для вторых производных функциифигурируют значения самой функции и её первых и вторых производных.Идея алгоритмического дифференцирования может быть распространенана вычисление разделённых разностей (наклонов) функций,а также на вычисление интервальных расширений производных и наклонов(см., к примеру, [65]).2.10 Приближение функций2.10а Обсуждение постановки задачиВ этом параграфе мы займёмся задачей приближения функций. Кней естественно приходят в ситуациях, где методы интерполированияпо различным причинам не удовлетворяют практику. Эти причины могутносить чисто технический характер. К примеру, гладкость сплайнаможет оказаться недостаточной, либо его построение — слишкомсложным. Степень обычного интерполяционного полинома может бытьнеприемлемо высокой для данного набора узлов интерполяции (а высокаястепень — это трудности при вычислении значений полинома иего большая изменчивость). Но причины отказа от интерполяции могутиметь также принципиальный характер. В частности, это происходит,если значения функции в узлах x 0 , x 1 , . . . , x n известны неточно. В этихусловиях целесообразна коррекция самой постановки задачи.Именно, имеет смысл отказаться от требования, чтобы восстанавливаемаяфункция g была точно равна значениям f i в узлах x 0 , x 1 , . . . ,x n , допустив, к примеру, для g принадлежности её значений некоторыминтервалам, т. е. g(x i ) ∈ [f i,f i ], i = 0,1,...,n, f i≤ f i . Наглядногеометрическиэто означает построение функции g(x) из заданногокласса G, которая в каждом узле сетки x i , i = 0,1,...,n, проходитчерез некоторый «коридор» [f i,f i ], см. Рис. 2.17.Более общая постановка этой задачи предусматривает наличие некоторойметрики (расстояния), которую мы будем обозначать через dist,и с помощью которой можно измерять отклонение вектора значений(g(x 0 ),g(x 1 ),...,g(x n )) ⊤ функции g(x) в узлах сетки от вектора заданныхзначений (f 0 ,f 1 ,...,f n ) ⊤ . Напомним, что на множестве Y , обра-