С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

3.6. Прямые методы решения линейных систем 277Пусть дана система линейных алгебраических уравнений⎧a 11 x 1 + a 12 x 2 +...+ a 1n x n = b 1 ,⎪⎨ a 21 x 1 + a 22 x 2 +...+ a 2n x n = b 2 ,⎪⎩.. . .. . .a n1 x 1 +a n2 x 2 +...+a mn x n =b m ,и относительно её коэффициета a 11 будем предполагать, что a 11 ≠ 0.Умножим первое уравнение системы на (−a 21 /a 11 ) и сложим со вторымуравнением. В результате коэффициент a 21 во втором уравнениизанулится, а получившаяся система будет совершенно равносильна исходной.Проделаем подобное преобразование с остальными — 3-м, 4-м и т. д.до n-го уравнениями системы, т. е. будем умножать первое уравнениена (−a i1 /a 11 ) и складывать с i-ым уравнением системы. В результатеполучим равносильную исходной систему линейных алгебраическихуравнений, в которой неизвестная переменная x 1 присутствует лишьв первом уравнении. Матрица получившейся СЛАУ станет выглядетьследующим образом:⎛⎞× × × ··· ×0 × × ··· ×0 × × . . . .,⎜ .⎝ . . . .. ⎟ . ⎠0 × × ··· ×где посредством «×» обозначены элементы, возможно, не равные нулю.Рассмотрим теперь в преобразованной системе уравнения со 2-гопо n-е. Они образуют квадратную (n−1) × (n−1)-систему линейныхуравнений, в которой неизвестная переменная x 1 уже не присутствуети которую можно решать отдельно, никак не обращаясь к первомууравнению исходной системы. Если элемент на месте (2,2) не сделалсяравным нулю, к этой системе можно заново применить вышеописаннуюпроцедуру исключения неизвестных. Её результатом будет обнулениеподдиагональных элементов 2-го столбца матрицы СЛАУ. И так далее.Выполнив (n − 1) шагов подобного процесса — для 1-го, 2-го, . . . ,(n − 1)-го столбцов матрицы данной системы, мы получим, в конце