С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

3.7. Методы на основе ортогональных преобразований 303Доказательство проводится непосредственной проверкой.Симметричность матрицы H(u):Ортогональность:H ⊤ = ( I −2uu ⊤) ⊤= I ⊤ − ( 2uu ⊤) ⊤= I −2 ( u ⊤) ⊤u ⊤ = I −2uu ⊤ = H.H ⊤ H = ( I −2uu ⊤)( I −2uu ⊤)= I −2uu ⊤ −2uu ⊤ +4uu ⊤ uu ⊤= I −4uu ⊤ +4u(u ⊤ u)u ⊤ = I, так как u ⊤ u = 1.Собственные векторы и собственные значения:H(u)·u = ( I −2uu ⊤) u = u−2u(u ⊤ u) = u−2u = −u;H(u)·v = ( I −2uu ⊤) v = v −2u(u ⊤ v) = v, поскольку u ⊤ v = 0.Это завершает доказательство предложения.Из последних двух свойств матриц отражения следует геометрическаяинтерпретация, которая мотивирует их название. Эти матрицыдействительно осуществляют преобразование отражения относительногиперплоскости, ортогональной порождающему вектору u.Чтобы убедиться в этом, представим произвольный вектор x в видеαu+v, где u — порождающий матрицу отражения вектор, а v — емуортогональный, т. е. u ⊤ v = 0 (см. Рис. 3.16). ТогдаH(u)·x = H(u)·(αu+v) = −αu+v,т. е. в преобразованном матрицей H(u) векторе компонента, ортогональнаярассматривамой гиперплоскости, сменила направление на противоположное.Это и соответствует отражению относительно неё.Предложение 3.7.2 Для любого ненулевого вектора x ∈ R n существуетматрица отражения, переводящая его в вектор, коллинеарныйзаданному вектору e ∈ R n с единичной длиной, ‖e‖ 2 = 1.