С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

3.16. Проблема собственных значений 385линейных алгебраических уравнений Ax = b и несёт особую спецификулишь когда A имеет неполный ранг, т. е. особенна. Теоретически ипрактически наиболее важный случай линейной задачи о наименьшихквадратах соответствует m > n. Он находит многочисленные и разнообразныеприменения при обработке данныхКоль скорото〈Ax−b,Ax−b〉 = 〈Ax,Ax〉 −〈b,Ax〉−〈Ax,b〉+〈b,b〉= 〈Ax,Ax〉 −2〈Ax,b〉+〈b,b〉,∂∂x i〈Ax−b,Ax−b〉 = ∂∂x i(〈Ax,Ax〉 −2〈Ax,b〉)Система линейных алгебраических уравненийA ⊤ Ax = A ⊤ b (3.135)называется нормальной системой уравнений для линейной задачи онаименьших квадратах с матрицей A и вектором b. 26 Её решение идоставляет искомый минимум выражению ‖Ax−b‖ 2 23.16 Проблема собственных значений3.16а Обсуждение постановки задачиНенулевой векторv называется собственным вектором квадратнойматрицы A, если в результате умножения на эту матрицу он переходитв коллинеарный себе, т. е. отличающийся от исходного только некоторымскалярным множителем:Av = λv. (3.136)Сам скаляр λ, который является коэффициентом пропорциональностиисходного вектора и его образа при действии матрицы, называютсобственным значением матрицы. Проблемой собственных значенийназывают задачу определения собственных значений и собственныхвекторов матриц: для заданной n×n-матрицы A найти числа λ иn-векторы v ≠ 0, удовлетворяющие условию (3.136).26 Переход от исходной системы уравнений Ax = b к нормальной системе (3.135)иногда называют первой трансформацией Гаусса.