С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

290 3. Численные методы линейной алгебрыПредложение 3.6.2 Если в системе линейных алгебраических уравненийAx = b матрица A — квадратная и строго регулярная, то методГаусса реализуем в применении к этой системе без перестановкистрок и столбцов.Доказательство. В самом деле, к началу j-го шага прямого хода, накотором предстоит обнулить поддиагональные элементы j-го столбцаматрицы СЛАУ, её ведущей j × j-подматрицей является треугольнаяматрица, которая получена из исходной ведущей подматрицы преобразованиямипредыдущих j − 1 шагов метода Гаусса (см. Рис. 3.14).Эти преобразования — линейное комбинирование строк — не изменяютсвойство определителя матрицы быть неравным нулю. Поэтому отличиеот нуля какого-либо ведущего минора влечёт отличие от нуля всехдиагональных элементов ведущей треугольной подматрицы преобразованнойматрицы СЛАУ. В частности, при этом всегда a jj ≠ 0, так чтоделение на этот элемент в алгоритмах (3.53) и (3.54) выполнимо. В общем случае проверка как условий Теоремы 3.6.2, так и строгойрегулярности матрицы являются весьма непростыми, посколькувычисление ведущих миноров матрицы требует немалых трудозатрат,и, по существу, ничуть не проще самого метода Гаусса. Тем не менее,условия Теоремы 3.6.2 заведомо выполнены, к примеру, в двух важныхчастных случаях:• для СЛАУ с положительно определёнными матрицами(в силу известного критерия Сильвестера),• если матрица СЛАУ имеет диагональное преобладание(см. признак Адамара, §3.2е).3.6е Разложение ХолесскогоНапомним, что квадратнаяn×n-матрица называется положительноопределённой, если 〈Ax,x〉 > 0 для любых n-векторов x. Ясно, чтоположительно-определённые матрицы неособенны.Теорема 3.6.4 Матрица A является симметричной положительноопределённой тогда и только тогда, когда существует неособеннаянижняя треугольная матрица C, такая что A = CC ⊤ . При этомматрица C из выписанного представления единственна.