С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

2.6. Сплайны 93Чтобы завершить определение вида сплайна, т. е. найти γ 1 , γ 2 , . . . ,γ n−1 , можно воспользоваться условием непрерывности первой производнойS ′ (x) в узлах x 1 , x 2 , . . . , x n−1 :S ′ (x i −0) = S ′ (x i +0), i = 1,2,...,n−1. (2.52)Продифференцировав поxформулу (2.51), получим дляx ∈ [x i−1 ,x i ]S ′ (x) = y i −y i−1h i−γ i−13(x i −x) 2 −h 2 i6h i+γ i3(x−x i−1 ) 2 −h 2 i6h i. (2.53)Следовательно, с учётом того, что x i −x i−1 = h i ,S ′ (x i ) = y i −y i−1h i= y i −y i−1h i+γ i−1h 2 i6h i+γ i3(x i −x i−1 ) 2 −h 2 i6h ih i+γ i−16 +γ h ii3 . (2.54)С другой стороны, сдвигая все индексы в (2.53) на единицу вперёд,получим для подинтервала x ∈ [x i ,x i+1 ] представлениеS ′ (x) = y i+1 −y ih i+1−γ i3(x i+1 −x) 2 −h 2 i+16h i+1+γ i+13(x−x i ) 2 −h 2 i+16h i+1.Следовательно, с учётом того, что x i+1 −x i = h i+1 ,S ′ (x i ) = y i+1 −y ih i+1−γ i3(x i+1 −x i ) 2 −h 2 i+16h i+1−γ i+1h 2 i+16h i+1= y i+1 −y i h i+1 h i+1−γ i −γ i+1h i 3 6 . (2.55)Приравнивание, согласно (2.52), производных (2.54) и (2.55), которыеполучены в узлах x i с соседних подинтервалов[x i−1 ,x i ] и [x i ,x i+1 ],приводит к соотношениям⎧⎪⎨⎪⎩h i6 γ i−1 + h i +h i+1γ i + h i+13 6 γ i+1 = y i+1 −y ih i+1i = 1,2,...,n−1,γ 0 и γ n заданы.− y i −y i−1h i,(2.56)