С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

254 3. Численные методы линейной алгебрыОбозначим S N = ∑ Nk=0 Xk — частичную сумму матричного рядаНеймана. Коль скоро‖S N+p −S N ‖ =∥N+p∑k=N+1X k ∥ ∥∥∥∥≤N+p∑k=N+1= ‖X‖ N+1 · 1−‖X‖p1−‖X‖ → 0‖X k ‖ ≤N+p∑k=N+1‖X‖ kпри N → ∞ и любых целых положительных p, то последовательностьS N является фундаментальной (последовательностью Коши) в полномметрическом пространстве квадратных матриц с расстоянием, порождённымрассматриваемой нормой ‖·‖. Следовательно, частичные суммыS N ряда Неймана имеют предел S = lim N→∞ S N , причём(I −X)S N = (I −X)(I +X +X 2 +...+X N ) = I −X N+1 → Iпри N → ∞, поскольку тогда ‖X N+1 ‖ ≤ ‖X‖ N+1 → 0. Так как этотпредел S удовлетворяет соотношению (I−X)S = I, можем заключить,что S = (I −X) −1 .Наконец,∥ ‖(I −X) −1 ∞∑ ∥∥∥∥‖ =X k ≤∥k=0∞∑‖X k ‖ ≤k=0∞∑‖X‖ k =k=011−‖X‖ ,где для бесконечных сумм неравенство треугольника может быть обоснованопредельным переходом по аналогичным неравенствам для конечныхсумм. Это завершает доказательство Предложения. Матричный ряд Неймана является простейшим из матричных степенныхрядов, т. е. сумм вида∞∑c k X kk=0где X — квадратная матрица и c k , k = 0,1,2,..., — счётный наборкоэффицентов. C помощью матричных степенных рядов можно определятьзначения аналитических функций от матриц (например, экспоненту,логарифм, синус, косинус и т. п. от матрицы), просто подставляя