С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

3.8. Метод прогонки 319линейным системам уравнений с матрицами, у которых помимо главнойдиагонали заполнены только две соседние с ней, т. е. к системам стрёхдиагональными матрицами.Соотношения вида (3.84)a i x i−1 +b i x i +c i x i+1 = d i , i = 1,2,...,называют также трёхточечными разностными уравнениями или разностнымиуравнениями второго порядка.Пусть для СЛАУ с трёхдиагональной матрицей выполняется прямойход метода Гаусса без выбора ведущего элемента (т. е. без перестановокстрок и столбцов матрицы). Если он успешно прорабатывает доконца, то приводит к системе с двухдиагональной матрицей вида⎛ ⎞× ×× . . . 0. .. × , (3.85)⎜0⎟⎝ × × ⎠×в которой ненулевые элементы присутствуют лишь на главной диагоналии первой верхней побочной. Следовательно, формулы обратногохода метода Гаусса вместо (3.54) должны иметь следующий двучленныйвидx i = ξ i+1 x i+1 +η i+1 , i = n,n−1,...,1, (3.86)где, как и в исходных уравнениях, в n-ом соотношении присутствуетвспомогательная фиктивная неизвестная x n+1 . Оказывается, что величиныξ i и η i в соотношениях (3.86) можно несложным образом выразитьчерез элементы исходной системы уравнений.Уменьшим в (3.86) все индексы на единицу —x i−1 = ξ i x i +η i— и подставим полученное соотношение в i-ое уравнение системы, получимa i(ξi x i +η i)+bi x i +c i x i+1 = d i .