С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

460 4. Решение нелинейных уравнений и их системрешению (−α ∗ ) уравнения (4.11). И нулевое, и отрицательное решенияочевидно не имеют содержательного смысла.С другой стороны, переписывание исходного уравнения (4.12) в другомрекуррентном виде —α = 1 l arcsin(αh)— приводит к тому, что характер сходимости метода простой итерациисовершенно меняется. Из любого начального приближения, меньшегопо модулю чем примерно 0.226965, итерацииα (k+1) ← 1 l arcsin( α (k) h ) , k = 0,1,2,...,сходятся лишь к нулевому решению. Б´ольшие по модулю начальныеприближения быстро выводят за границы области определения вещественногоарксинуса, переводя итерации в комплексную плоскость, гдеони снова сходятся к нулевому решению. Таким образом, искомого решенияα ∗ мы при этом никак не получаем.Рассмотренный пример хорошо иллюстрирует различный характернеподвижных точек отображений и мотивирует следующие определения.Неподвижная точка x ⋆ функции Φ(x) называется притягивающей,если существует такая окрестностьΩ точки x ⋆ , что итерационный процессx(k+1) ← Φ(x (k) ) сходится к x ⋆ из любого начального приближенияx (0) ∈ Ω.Неподвижная точка x ⋆ функции Φ(x) называется отталкивающей,если существует такая окрестностьΩ точки x ⋆ , что итерационный процессx (k+1) ← Φ(x (k) ) не сходится к x ⋆ при любом начальном приближенииx (0) ∈ Ω.Ясно, что простые итерации x (k+1) ← Φ(x (k) ) непригодны для нахожденияотталкивающих неподвижных точек. Здесь возникает интересныйвопрос о том, какими преобразованиями уравнений и системуравнений отталкивающие точки можно сделать притягивающими.Наиболее часто существование неподвижных точек можно гарантироватьу отображений, которые удовлетворяют тем или иным дополнительнымусловиям, и самыми популярными из них являются такназываемые условия сжимаемости (сжатия) образа.