С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

2.10. Приближение функций 121ции, в которой дискретный набор узлов x 0 , x 1 , . . . , x n уже не фигурирует,а отклонение одной функции от другой измеряется «на всей»области их определения:Для заданныхǫ > 0, функцииf(x) изF и метрики dist найтифункциюg(x) из класса функцийG, такую чтоdist(f,g) < ǫ.Соответствующая общая формулировка задачи о наилучшем приближенииставится так:Для заданных функции f(x) из класса функций Fи метрики dist найти функцию g(x) из класса G,на которой достигается нижняя грань расстоянийот f(x) до функций из G, т. е. удовлетворяющуюусловию dist(f,g) = inf h∈G dist(f,h).(2.88)Решение g этой задачи, если оно существует, называется наилучшимприближением для f в классе G. Отметим, что в каждом конкретномслучае существование элемента наилучшего приближения требует отдельногоисследования.Отметим, что задачу приближения функций, значения которых заданыприближённо, часто называют (особенно в практических приложениях)задачей сглаживания, поскольку получаемая приближающаяфункция, как правило, действительно «сглаживает» выбросы данных,вызванные случайными ошибками и т. п.До сих пор ничего не было сказано о выборе классов функций F иG, и в наших формулировках они могут быть весьма произвольными.Но чаще всего предполагают, что F ⊇ G, и, кроме того, наделяют F иG структурой линейного пространства с некоторой нормой ‖·‖. Именнов ней измеряют отклонение функций (непрерывного или дискретногоаргумента) друг от друга, так чтоdist(f,g) = ‖f −g‖.Соответственно, в задаче наилучшего приближения функции f ищетсятакой элемент g ∈ G, на котором достигается inf h∈G ‖f −h‖.Рассмотренные выше постановки задач дают начало большим иважным разделам математики, в совокупности образующим теориюприближения функций (называемую также теорией аппроксимации).Её ветвью является, в частности, теория равномерного приближения,когда отклонение функций оценивается в норме ‖f‖ = max x∈[a,b] |f(x)|