С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

44 2. Численные методы анализаОтметим, что в задачах дискретного приближения функций «отклонение»или «близость» хорошо охватываются понятием псевдорасстояния(псевдометрики), которое определяется почти так же, как обычноерасстояние, но отличается от него ослаблением первой аксиомы:из dist(f,g) = 0 не обязательно следует, что f = g. 2 Тогда псевдорасстояниемежду двумя функциями, совпадающими на заданном наборезначений аргумента, будет равно нулю, даже если эти функции не равныдруг другу, т. е. различаются при каких-то других аргументах.2.2 Интерполирование функций2.2а Постановка задачи и её свойстваЗадача интерполирования — это задача восстановления (доопределения)функции, которая задана на дискретном множестве точек x i ,i = 0,1,...,n. Для функций одного вещественного аргумента её формальнаяпостановка такова.Задан интервал [a,b] ⊂ R и конечное множество попарно различныхточек x i ∈ [a,b], i = 0,1,...,n, называемых узлами интерполяции.Совокупность всех узлов будем называть сеткой. Даны значения y i ,i = 0,1,...,n. Требуется построить функцию g(x) от непрерывного аргументаx ∈ [a,b], которая принадлежит заданному классу функций Gи в узлах x i принимает значения y i , i = 0,1,...,n. Искомую функциюg(x) называют при этом интерполирующей функцией или интерполянтом.Практическая значимость задачи интерполяции чрезвычайно велика.Она встречается всюду, где у функции непрерывного аргумента (котораяможет быть временем, пространственной координатой и т. п.) мыимеем возможность наблюдать лишь значения в дискретном множестветочек, но хотим востановить по ним ход функции на всём множествезначений аргумента. Например, выполнение многих химических анализовтребует существенного времени, так что множество результатовэтих анализов по необходимости дискретно. Если нам нужно контролироватьпо ним непрерывно изменяющийся параметр какого-либо производственногопроцесса, то неизбежно потребуется интерполированиерезультатов анализов. Очень часто дискретность множества точек, в2 В отношении этого объекта можно встретить и другие термины. Так, в книге[13] используется термин «квазирасстояние».