С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

3.9. Стационарные итерационные методы 333отталкиваясь от которого можно организовывать одношаговый итерационныйпроцесс для решения (3.94). Фактически, это вопрос о том,как связан предел стационарного одношагового итерационного процесса(3.92) с интересующим нас решением системы линейных алгебраическихуравнений Ax = b. При этом практический интерес представляет,естественно, не всякое приведение системы (3.94) к виду (3.95), но лишьтакое, которое удовлетворяет условию сходимости стационарного одношаговогоитерационного процесса, выведенному в предшествующемразделе, т. е. ρ(C) < 1.Существует большое количество различных способов приведенияисходной ИСЛАУ к виду, допускающему применение итераций, большоеразнообразие способов организации этих итерационных процессови т. п. Не претендуя на всеохватную теорию, мы рассмотрим нижелишь несколько общих приёмов подготовки и организации итерационныхпроцессов.Простейший способ состоит в том, чтобы добавить к обеим частямисходной системы по вектору неизвестной переменной x, т. е.а затем член Ax перенести в правую часть:x+Ax = x+b, (3.96)x = (I −A)x+b.Иногда этот приём работает, но весьма часто он непригоден, так какспектральный радиус матрицы C = I − A оказывается не меньшимединицы.В самом деле, еслиλ—собственное значение для A, то для матрицы(I − A) собственным значением будет 1 − λ, и тогда 1 − λ > 1 привещественных отрицательных λ. С другой стороны, если у матрицы Aесть собственные значения, б´ольшие по модулю, чем 2, т. е. если |λ| > 2,то |1−λ| = |λ−1| ≥ ∣ ∣|λ|−1 ∣ ∣ > 1 и сходимости стационарных итерациймы также не получим.Из предшествующих рассуждений можно ясно видеть, что необходимактивный способ управления свойствами матрицы C в получающейсясистеме рекуррентного вида x = Cx+d. Одним из важнейшихинструментов такого управления служит предобуславливание исходнойсистемы.Определение 3.9.1 Предобуславливанием системы линейных алгебраическихуравнений Ax = b называется умножение слева обеих её