С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

404 3. Численные методы линейной алгебрыПоэтому в матрице Q 1 AQ ⊤ 1 , как и в Q 1A, первый столбец имеет нулив позициях с 3-й по n-ую.Далее выбираем матрицы отражения Q 2 , Q 3 , . . . , Q n−2 так, чтобыумножение слева на Q i давало нули в позициях с (i+2)-ой по n-ую вi-ом столбце. Эти матрицы имеют видQ i =( I 00 ˜Qi),где в верхнем левом углу стоит единичная матрица размера i × i, а˜Q i — матрица отражения размера (n−i)×(n−i). При этом последующееумножения справа на Q ⊤ i = Q i также не портит возникающуюпочти треугольную структуру результирующей матрицы. Получающаясяв итоге матрица QAQ ⊤ с Q = Q n−2 ...Q 1 действительно являетсяверхней почти треугольной.3.17б Степенной методЕсли для собственных значений λ i , i = 1,2,...,n, некоторой матрицысправедливо неравенство|λ 1 | > |λ 2 | ≥ |λ 3 | ≥ ...|λ n |, тоλ 1 называютдоминирующим собственным значением, а соответствующий ему собственныйвектор — доминирующим собственным вектором. Степеннойметод, описанию которого посвящён этот пункт, предназначен длярешения частичной проблемы собственных значений — нахождения доминирующихсобственного значения и собственного вектора матрицы.Лежащая в его основе идея чрезвычайно проста и состоит в том,что если у матрицы A имеется собственное значение λ 1 , превосходящеепо модулю все остальные собственные значения, то при действии этойматрицей на произвольный вектор x ∈ C n направление v 1 , отвечающееэтому собственному значению λ 1 будет растягиваться сильнее остальных(при λ 1 > 1) или сжиматься меньше остальных (при λ 1 ≤ 1). Приповторном умножении A на результат Ax предшествующего умноженияэта компонента ещё более удлинится в сравнении с остальными. Повториврассмотренную процедуру умножения достаточное количествораз, мы получим вектор, в котором полностью преобладает направлениеv 1 , т. е. практически будет получен приближённый собственныйвектор.