С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

32 1. Введениевать их для выполнения арифметических абсолютно точных операцийнад числовыми полями R и C, которые являются бесконечными (и даженепрерывными) множествами, большинство элементов которых непредставимы в цифровых ЭВМ.Оказывается, что значительная часть объектов, с которыми работаютсовременная математика и её приложения, не являются конструктивными.В частности, неконструктивным является традиционное понятиевещественного числа, подразумевающее бесконечную процедуруопределения всех знаков его десятичного разложения (которое в общемслучае непериодично). Факт неконструктивности вещественных чиселможет быть обоснован строго математически (см. [32]), и он указываетна принципиальные границы возможностей алгоритмического подходаи ЭВМ в деле решения задач математического анализа.Тем не менее, и в этом океане неконструктивности имеет смысл выделитьобъекты, которые могут быть «достаточно хорошо» приближеныконструктивными объектами. На этом пути мы приходим к понятиювычислимого вещественного числа [32, 22] 3 : вещественное число αназывается вычислимым, если существует алгоритм, дающий по всякомунатуральному числу n рациональное приближение к α с погрешностью1 n. Множество всех вычислимых вещественных чисел образуетвычислимый континуум. Соответственно, вычислимая вещественнаяфункция определяется как отображение из вычислимого континуума ввычислимый континуум, задаваемая алгоритмом преобразования программыаргумента в программу значений.Важно помнить, что и вычислимое вещественное число, и вычислимаяфункция — это уже не конструктивные объекты. Но, как выясняется,даже ценой ослабления наших требований к конструктивностинельзя вполне преодолеть принципиальные алгоритмические трудности,связанные с задачей решения уравнений. Для вычислимых вещественныхчисел и функций ряд традиционных постановок задач оказываетсяалгоритмически неразрешимыми в том смысле, что построениеобщих алгоритмов их решения принципиально невозможно.Например, алгоритмически неразрешимыми являются задачи1) распознавания равно нулю или нет произвольное вычислимое вещественногочисло [31, 32, 33], распознавания равенства двух вычислимыхвещественных чисел [22, 25, 31, 32];3 Совершенно аналогичным является определение конструктивного вещественногочисла у Б.А. Кушнера [31].