С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

2.8. Численное дифференцирование 105требует достаточной гладкости функции ξ(x), о которой мы можемсказать немногое. Даже если эта гладкость имеется у ξ(x), полученныеоценки будут содержать производные ξ ′ (x) и пр., о которых мызнаем ещё меньше. Наконец, шаблон некоторых формул численногодифференцирования содержит меньше точек, чем это необходимо дляпостроения интерполяционных полиномов нужной степени. Такова, кпримеру, формула «центральной разности» для первой производнойили формула для второй производной (2.71), построенная по четырёмточкам на основе полинома 3-й степени. Тем не менее, явные выражениядля остаточного члена формул численного дифференцирования наэтом пути можно получить методом, который напоминает вывод формулыдля погрешности алгебраического интерполирования. Подробностиизложены, к примеру, в книгах [17, 56].Рассмотрим ниже детально более простой и достаточно универсальныйспособ оценивания погрешностей, основанный на разложениях поформуле Тейлора. Суть этого способа заключается, во-первых, в выписываниипо формуле Тейлора разложений для функций, входящих вправую часть формулы численного дифференцирования, и, во-вторых,в аккуратном учёте членов этих разложений с целью получить, повозможности,наиболее точное выражение для ошибки.Поясним эту методику на примере оценки погрешности для формулы«центральной разности» (2.64):f ′ (x i ) ≈ f˚x,i = f i+1 −f i−1.2hПредположим, что f ∈ C 3 [x i−1 ,x x+1 ], т. е. функция f трижды непрерывнодифференцируема на интервале между узлами формулы. Подставляяеё в (2.64) и разлагая относительно точкиx i по формуле Тейлорас остаточным членом в форме Лагранжа вплоть до членов второгопорядка, получим( (f˚x,i = 1)f(x i )+hf ′ (x i )+ h22h 2 f′′ (x i )+ h36 f′′′ (ξ + ))−(f(x )i )−hf ′ (x i )+ h22 f′′ (x i )− h36 f′′′ (ξ − )= f ′ (x i )+ h212 f′′′ (ξ + )+ h212 f′′′ (ξ − ),