С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

474 4. Решение нелинейных уравнений и их системПриведённую выше последовательность действий по обнаружениюрешения системы уравнений и уточнению его границ мы будем называтьдалее кратко тестом существования (решения). Условимся такжесчитать, что его результатом является брус пересечения (X∩T(X))либо предел последовательности (4.21)–(4.22). Если этот брус непуст,то он либо наверняка содержит решение системы уравнений, либо являетсяподозрительным на наличие в нём решения. Если же результаттеста существования пуст, то в исходном брусе решений системы уравненийнет.В действительности, каждый из изложенных выше приёмов уточнениярешения допускает далеко идущие модификации и улучшения.Например, это относится к итерациям вида (4.21)–(4.22), которые могутбыть последовательно применены не к целым брусам X (k) , а к отдельнымих компонентам в комбинации с различными способами приведенияисходной системы к рекуррентному виду (4.20). На этом путимы приходим к чрезвычайно эффективным алгоритмам, которые получилинаименование методов распространения ограничений (см., кпримеру, [30]).Как простейший тест существования, так и его более продвинутыеварианты без особых проблем реализуются на ЭВМ и работают темлучше, чем более качественно вычисляются интервальные расширенияфункций F в (4.2) и T в (4.20) и чем меньше ширина бруса X.Последнее связано с тем, что погрешность оценивания области значенийфункции посредством любого интервального расширения убываетс уменьшением размеров бруса, на котором производится это оценивание.(см. §1.5).4.7б Одномерный интервальный метод НьютонаВ этом параграфе мы рассмотрим простейший случай одного уравненияс одним неизвестным.Предположим, что f : R ⊇ x → R — непрерывно дифференцируемаяфункция, имеющая нуль x ⋆ на интервале x, т. е. f(x ⋆ ) = 0. Тогдадля любой точки ˜x ∈ x из этого же интервала в силу теоремы Лагранжао среднем значенииf(˜x)−f(x ⋆ ) = (˜x−x ⋆ )·f ′ (ξ),где ξ — некоторая точка между ˜x и x ⋆ . Но так как f(x ⋆ ) = 0, то отсюда