С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

388 3. Численные методы линейной алгебрыПомимо необходимости выхода в общем случае в комплексную плоскостьC, даже для вещественных матриц, ещё одной особенностью проблемысобственных значений, осложняющей её решение является нелинейныйхарактер задачи, несмотря на традицию отнесения её к «вычислительнойлинейной алгебре». Это обстоятельство нетрудно осознтьиз рассмотрения основного соотношения (3.136)Av = λv,которое является системой уравнений относительно λ и v, причём в егоправой части суммарная степень неизвестных переменных равна двум:2 = (1 при λ) + (1 при v).Если собственное значение ˜λ матрицы A уже найдено, то, как известно,определение соответствующих собственных векторов сводитсяк решению системы линейных алгебраических уравнений(A− ˜λI)x = 0с особенной матрицей. Но на практике часто предпочитают пользоватьсядля нахождения собственных векторов специализированнымивычислительными процедурами. Многие из них позволяют вычислятьсобственные векторы одновременно с собственными значениями матриц.В заключение нашего обсуждения коснёмся алгоритмического аспектапроблемы собственных значений. Напомним известную в алгебретеорему Абеля-Руффини: для алгебраических полиномов степенивыше 4 не существует прямых методов нахождения корней. Как следствие,мы не вправе ожидать существования прямых методов решенияпроблемы собственных значений для произвольных матриц размераболее 4 × 4, и потому рассматриваемые ниже методы — существенноитерационные.3.16б Обусловленность проблемысобственных значенийСпектр матрицы, как множество точек комплексной плоскости C,непрерывно зависит от элементов матрицы. Соответствующий результатчасто называют теоремой Островского (читатель может увидетьдетальное изложение этой теории в книгах [19, 26, 34, 41, 50]). Но собственныевекторы (инвариантные подпространства) матрицы могут из-