С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

4.4. Классические методы решения уравнений 463называют методом Ньютона. Он явялется одним из наиболее популярныхи наиболее эффективных численных методов решения уравненийи имеет многочисленные обобщения, в том числе на многомерныйслучай, т. е. в применении к решению систем уравнений (см. 4.7в).Пример 4.4.3 Рассмотрим уравнение x 2 − a = 0, решением которогоявляется квадратный корень из числа a. Если f(x) = x 2 − a, тоf ′ (x) = 2x, так что в методе Ньютона для нахождения решения рассматриваемогоуравнения имеем(x (k+1) = x (k) − f(x(k) )) x(k) 2−af ′ (x (k) ) = x(k) −2x (k)= x(k)2 + a2x (k).Итерационный процесс для нахождения квадратного корняx (k+1) ← 1 2(x (k) + ax (k) ), k = 0,1,2,...,известен ещё с античности и часто называется методом Герона. Длялюбого положительного начального приближения x (0) он порождаетубывающую, начиная с x (1) , последовательность, которая быстро сходитсяк арифметическому значению √ a.Метод Ньютона требует вычисления на каждом шаге производнойот функции f, что может оказаться неприемлемым или труднодостижимым.Одна из очевидных модификаций метода Ньютона состоит втом, чтобы «заморозить» производную в некоторой точке и вести итерациипо формулеx (k+1) ← x (k) − f(x(k) )f ′ (ˇx) , k = 0,1,2,...,где ˇx — фиксированная точка, в которой берётся производная. Получаемстационарный итерационный процесс, который существенно прощев реализации, но он имеет качественно более медленную сходимость.Для определения погрешности приближённого решения ˜x и контроляточности вычислений можно применять формулу|˜x−x ∗ | ≤|f(˜x)|min ξ∈[a,b] |f ′ (ξ)| , (4.15)