С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

226 3. Численные методы линейной алгебры‖a‖ 1 :=n∑|a i | ,i=1( n) 1/2∑‖a‖ 2 := |a i | 2 ,i=1‖a‖ ∞ := max1≤i≤n |a i| .Вторая из этих норм часто называется евклидовой, а третья — чебышёвскойили максимум-нормой. Евклидова норма вектора, как направленногоотрезка, — это его обычная длина, в связи с чем евклидову нормучасто называют также длиной вектора. Нередко можно встретить идругие названия рассмотренных норм.Замечательность евклидовой нормы ‖ · ‖ 2 состоит в том, что онапорождается стандартным скалярным произведением 〈·, ·〉 в R n илиC n . Более точно, если скалярное произведение задаётся как (3.1) или(3.2), то ‖a‖ 2 = √ 〈a,a〉. Иными словами, 2-норма является составнойчастью более богатой и содержательной структуры на пространствахR n и C n , чем мы будем неоднократно пользоваться. Напомним такженеравенство Коши-Буняковского|〈a,b〉| ≤ ‖a‖ 2 ‖b‖ 2 . (3.16)Нормы ‖·‖ 1 и ‖·‖ 2 — это частные случаи более общей конструкцииp-нормы( n) 1/p∑‖a‖ p = |a i | p для p ≥ 1,i=1которую называют также гёльдеровой нормой (по имени О.Л. Гёльдера).Неравенство треугольника для неё имеет вид(∑ n) 1/p ( n) 1/p (∑ n) 1/p∑|a i +b i | p ≤ |a i | p + |b i | p ,i=1i=1оно называется неравенством Минковского и имеет самостоятельноезначение в различных разделах математики.Чебышёвская норма такжеможет быть получена из p-нормы с помощью предельного перехода поp → ∞, что и объясняет индекс «∞» в её обозначении.i=1