С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

412 3. Численные методы линейной алгебрыт. е. к жордановой 2×2-клетке с собственным значением 1.Запустив степенной метод из начального вектора x (0) = (1,1) ⊤ , будемиметь следующееНомер Приближениеитерации к собственному значению1 1.53 1.310 1.099009930 1.0332963100 1.009999300 1.00333331000 1.001То есть, для получения n верных десятичных знаков собственного значенияприходится делать примерно 10 n−1 итераций, что, конечно же,непомерно много. При увеличении размера жордановой клетки сходимостьстепенного метода делается ещё более медленной. 3.17в Обратные степенные итерацииОбратными степенными итерациями для матрицы A называютописанный в прошлом параграфе степенной метод, применённый к обратнойматрице A −1 , в котором вычисляется отношение результатовпредыдущей итерации к последующей, т. е. обратная к (3.143) или (3.144)величина. Явное нахождение обратной матрицыA −1 при этом не требуется,так как в степенном методе используется лишь результатx (k+1) еёумножения на вектор x (k) очередного приближения, а это, как известно(см., в частности, §3.13), эквивалентно решению системы линейныхуравнений Ax (k+1) = x (k) .Так как собственные значения матриц A и A −1 взаимно обратны,то обратные степенные итерации будут сходится к наименьшему поабсолютной величине собственному значению A и соответствующемусобственному вектору.Чтобы в отношении〈x (k) ,l (k) 〉〈x (k+1) ,l (k) 〉 ,которое необходимо вычислять в обратных степенных итерациях, знаменательне занулялся, удобно брать l (k) = x (k+1) . Тогда очередным