С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

48 2. Численные методы анализакласса F (который даже не фигурирует в формальной постановке задачи).Если это условие не выполнено, то задача интерполяции можетрешаться неудовлетворительно.Определение 2.2.1 Интерполирование функций с помощью алгебраическихполиномов называют алгебраической интерполяцией. Алгебраическийполином P m (x) = a 0 +a 1 x+a 2 x 2 +···+a m x m , решающийзадачу алгебраической интерполяции, называется интерполяционнымполиномом или алгебраическим интерполянтом.Как по интерполяционным данным (x i ,y i ), i = 0,1,...,n, найтиинтерполяционный полином вида (2.5), т. е. определить его коэффициенты?Подставляя в выражение (2.5) последовательно значения аргументаx 0 , x 1 , . . . , x n и учитывая, что получающиеся при этом значения полиномадолжны быть равны y 0 , y 1 , . . . , y n , приходим к соотношениямa 0 +a 1 x 0 +a 2 x 2 0 +···+a mx m 0 =y 0,a 0 +a 1 x 1 +a 2 x 2 1 +···+a m x m 1 =y 1 ,.... .. . .. .a 0 +a 1 x n +a 2 x 2 n +···+a mx m n =y n.(2.6)Они образуют систему линейных алгебраических уравнений относительнонеизвестных коэффициентов a 0 , a 1 , a 2 , . . . , a m искомого полинома.Решив её, можно построить и сам полином.В самом общем случае, если мы не накладываем никаких ограниченийна степень полинома m и количество узлов интерполяции n+1,система (2.6) может не иметь решения, а если оно существует, то можетбыть неединственным. Имеется, тем не менее, важный частный случайзадачи алгебраической интерполяции, для которого гарантируется однозначнаяразрешимость.Теорема 2.2.1 Если m = n, т.е. степень интерполяционного полиномана единицу меньше количества узлов, то решение задачи алгебраическойинтерполяции существует и единственно.Доказательство. При m = n матрица системы линейных алгебраиче-